# Plan F11: el átomo por dentro — electrones, espín, Pauli, radiación y núcleo, con cuántica de verdad

> **Qué es este documento**: el plan de la fase en que el laboratorio entra en el átomo. Hasta F9 los átomos eran bolas con carga y un muro de Pauli pintado a mano; F10 abrió la puerta resolviendo la ecuación de Schrödinger para la molécula más simple (H₂⁺) y viendo que el enlace *es* densidad electrónica. F11 la cruza: qué es un electrón en un átomo, por qué hay niveles, qué es el espín, **por qué** rige el principio de Pauli, qué es la radiación (la luz de los átomos y la radiactividad de los núcleos), qué hay en el núcleo, y qué es un protón solo. Con las mismas reglas del laboratorio: **se declara lo mínimo y se mira emerger lo demás**, todo medible, todo a cámara lenta.
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> Escrito el 05/09/2026. En la máquina: Python 3.14.0, y **cuatro librerías cuánticas instaladas y verificadas hoy con cálculos de control**: QuTiP 5.3.1, qmsolve 2.0.0, SymPy 1.14, pyqint 1.4.3 (más SciPy 1.18.1). Sin WSL, sin conda. La sección 3 recoge los controles con sus números.

> ## Estado (05/09/2026): F11a ENTREGADA
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> `onda.html` con sus tres modos y cinco pozos, y `f11_onda.py` (qmsolve + SciPy → `data/f11_onda.json`, que el visor enseña como referencia). Números medidos:
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> | Control | Resultado |
> |---|---|
> | caja: niveles frente a n²h²/(8mL²) | 0,37603 · 1,50412 · 3,38427 · 6,01648 · 9,40075 eV: **coinciden en los cinco decimales** |
> | oscilador: (n − ½)ħω | 0,5 · 1,5 · 2,5 · … · 11,5 eV exactos; qmsolve da 0,5001 (sus muros de 10⁵ eV) |
> | pozo doble | pareja 0,737 / 1,169 eV bajo la barrera de 2,5 eV (ΔE = 0,432 eV → el paquete cruza y vuelve cada 9,6 fs); por encima, 3,17 y 4,67 eV sin desdoblar |
> | Coulomb 1D | −18,23 · −7,48 · −4,12 · −2,52 · −1,73 eV: los saltos se acortan 10,7 → 3,4 → 1,6 → 0,8 eV, como en el átomo |
> | nodos | n − 1 en los cuatro pozos, sin excepción |
> | túnel (2 eV contra 3 eV × 0,30 nm) | **18,9 %** medido a los 4 fs frente a **18,6 %** exacto promediado sobre las energías del paquete (para la energía media sola, 15,3 %) |
> | incertidumbre | Δx·Δp arranca en 0,500 ħ exacto, 0,9 ħ a 0,17 fs y 1,3 ħ a 0,34 fs; Δx medido 0,145 nm frente a 0,146 nm de la fórmula libre a 0,17 fs |
> | renacimiento en la caja | h/E₁ = 11,0 fs: a 5,5 fs el paquete reaparece en +0,12 nm (salió de −0,10) con Δx 0,096 nm (inicial 0,08); a 11 fs vuelve a −0,13 nm |
> | pozo doble en el tiempo | (ψ₁+ψ₂)/√2 en el pozo izquierdo: probabilidad en el derecho 1 % → 47 % → 92 % → 47 % → 1 % en 9,58 fs = h/ΔE |
> | norma y energía | 1,000000 y 3,4901 eV con cuatro decimales durante 11 fs (Crank–Nicolson es unitario; la cinética se mide con el mismo laplaciano) |
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> Dos lecciones de oficio para F11b: (1) la iteración inversa que limpia las autofunciones necesita una **semilla con la paridad correcta** (una semilla simétrica tarda seis vueltas en encontrar los estados impares; la propia onda del tiro es la semilla perfecta); (2) los nodos se cuentan sobre la autofunción limpia y con umbral: el tiro puro arrastra ruido de 10⁻¹² junto a las paredes que cuenta como cambio de signo.

## 0. Resumen en una pantalla

**La pregunta** es la que se hizo el usuario: quiero entender el átomo —radiación, electrones y su comportamiento, el núcleo, Pauli y su porqué, los espines, un protón solo—, con lo estudiado en el instituto mostrado en simulaciones con librerías de cuántica.

**La idea**, la misma que en F2 con el agua: en vez de contar cómo es el átomo, **declarar las dos o tres reglas y ver aparecer todo lo demás**.

| Se declara (y se dice) | Emerge (y se mide) |
|---|---|
| la ecuación de Schrödinger | la cuantización: solo ciertas energías tienen solución |
| el potencial de Coulomb del núcleo | los niveles −13,6/n² eV, el radio de Bohr, las formas de los orbitales, los nodos |
| la carga y la masa del electrón | por qué el átomo no se colapsa: el precio cinético de encerrar la onda |
| que el electrón tiene espín ½ (Dirac) | dos manchas en Stern–Gerlach, la precesión, la resonancia magnética |
| que dos electrones son **indistinguibles** y su función es **antisimétrica** (Pauli 1940) | la exclusión, las capas, la tabla periódica y **el muro de Pauli de F2** |
| la fuerza nuclear fuerte como pozo de corto alcance | la energía de enlace por nucleón, el hierro como máximo, fusión y fisión |
| el efecto túnel (sale de Schrödinger) | la desintegración α y la ley de Geiger–Nuttall: de 0,3 µs a 4.500 millones de años |

**Ocho subfases**, cada una con su visor, su librería de rigor y su número de control:

| | Visor | Qué se ve | Librería de rigor | Número que tiene que salir |
|---|---|---|---|---|
| F11a | `onda.html` | la cuantización emerge en 1D; paquetes de onda; túnel | qmsolve | niveles del pozo ∝ n²; túnel frente a WKB |
| F11b | `hidrogeno.html` | el átomo de hidrógeno: niveles, orbitales, nodos, radio de Bohr | SymPy (exacto) + SciPy | −13,606 eV; pico 1s en 52,9 pm; ⟨T⟩ = −⟨V⟩/2 |
| F11c | `luz.html` | la radiación: saltos, espectro, el dipolo que oscila, reglas de selección | SciPy (integrales) | Balmer 656,3 / 486,1 / 434,0 / 410,2 nm; vida del 2p 1,6 ns |
| F11d | `espin.html` | el espín: esfera de Bloch, Stern–Gerlach, Larmor, Rabi, resonancia magnética | QuTiP | 50/50 y nunca cero; 42,58 MHz/T del protón |
| F11e | `pauli.html` | **por qué** Pauli: dos partículas, simetría, el agujero de intercambio, el muro | pyqint | He–He repele como r⁻¹²; orto/para-helio 0,80 eV |
| F11f | `tabla.html` | la tabla periódica emerge: capas, ionización, radios, apantallamiento | pyqint (HF) | diente de sierra He–Ne–Ar; Na cede y Cl coge |
| F11g | `nucleo.html` | el núcleo: escala, energía de enlace, α β γ, vida media, carbono-14 | SciPy + datos AME | 8,8 MeV/nucleón en Fe/Ni; Po-212 vs U-238 |
| F11h | `proton.html` | un protón solo: qué es, dónde vive, el hidrógeno naciendo, los 21 cm | SymPy | 1420 MHz de \|ψ₁ₛ(0)\|²; 13,6 eV al capturar |

**Dos escalas de tiempo nuevas** para el laboratorio: el electrón vive en **attosegundos** (la «vuelta» 1s dura 152 as: un attosegundo es a un segundo lo que un segundo a dos veces la edad del universo) y el núcleo en cualquier cosa **entre microsegundos y miles de millones de años**. F2 iba en femtosegundos, F5 en nanosegundos, F9e en milisegundos: el laboratorio cubrirá 33 órdenes de magnitud.

## 1. Lo que ya sabes, traducido

El bachillerato deja un vocabulario correcto con un significado a medias. Este es el puente:

| En el instituto te dijeron… | Lo que es de verdad | Dónde lo verás |
|---|---|---|
| «el electrón está en un orbital 1s, 2p…» | un orbital es una **función de onda** ψ(x,y,z); \|ψ\|² dice dónde es probable encontrar al electrón. No es una trayectoria: el electrón **no gira alrededor** del núcleo | F11b |
| «los números cuánticos n, l, m, s» | n cuenta la energía y el tamaño; l cuenta los **nodos angulares** (la forma); m la orientación; s es otra cosa (§2.4). Los tres primeros **salen solos** al resolver la ecuación | F11b |
| «los electrones saltan de nivel y emiten luz» | una **superposición** de dos estados hace que la nube oscile a la frecuencia (E₂−E₁)/h, y una carga que oscila radia: es tu electromagnetismo del instituto aplicado a una antena del tamaño de un átomo | F11c |
| «el espín es que el electrón gira» | no gira: es un grado de libertad **de dos valores** sin análogo clásico, con un imán asociado. Se mide y salen dos manchas | F11d |
| «Pauli: no puede haber dos electrones con los mismos números cuánticos» | dos electrones son **indistinguibles**, y su función conjunta es **antisimétrica**: se anula cuando coinciden. La exclusión es una **consecuencia**, no un postulado | F11e |
| «regla del octeto, aufbau, Hund» | apantallamiento y capas que **emergen** de resolver muchos electrones a la vez (Hartree–Fock) | F11f |
| «el núcleo son protones y neutrones pegados» | pegados por la fuerza fuerte, que vence al Coulomb solo a menos de 2 fm; la energía de enlace es masa que falta (E = mc²) | F11g |
| «radiactividad α, β, γ» | α es **efecto túnel**; β es la fuerza débil convirtiendo un neutrón en protón; γ es la luz del núcleo (como F11c, pero en MeV) | F11g |
| «el H⁺ es un protón» | y ese protón tiene tamaño (0,84 fm), espín, un imán, tres quarks dentro, y en agua **nunca está solo** | F11h |

Y lo que **no** es: el electrón no orbita; el orbital no es un camino; el espín no es un giro; el núcleo no es un puñado de canicas; la radiación no es «algo que se escapa».

## 2. La física, contada por capas

### 2.1 Qué es un electrón en un átomo, y por qué hay niveles

En F2 y F5 el electrón no existía: el átomo era una bola. En F10 apareció como **nube**, y la nube era \|ψ\|². La regla que gobierna ψ es la ecuación de Schrödinger, que dicho en palabras es una **contabilidad de energía**: energía cinética (que castiga a las ondas muy arrugadas) más energía potencial (el pozo de Coulomb) igual a la energía total, para una onda que no cambia de forma con el tiempo.

Lo asombroso es que **no todas las energías tienen solución**. Si eliges una E cualquiera e integras la ecuación desde el centro hacia fuera, la onda **se dispara a infinito**: no vale, porque la probabilidad total tiene que ser 1. Solo para ciertas E exactas la onda muere suavemente lejos del núcleo. Esas E son los niveles. F11a lo enseña con una regla deslizante: mueves E, ves la cola de la onda disparándose arriba o abajo, y **justo** al pasar por un nivel se aplana. La cuantización no se postula: **se ve emerger de una condición de contorno**.

**Por qué el átomo no se colapsa**, que era la pregunta que tumbó la física clásica en 1911: encerrar la onda en un radio r cuesta energía cinética ~ħ²/(2m r²) (una onda comprimida está más arrugada), y el Coulomb da −e²/(4πε₀ r). La suma tiene un **mínimo** en r = a₀ = 52,9 pm y vale −13,6 eV. Una línea de álgebra da el radio de Bohr y la energía de ionización del hidrógeno. La solución exacta confirma las dos cosas.

### 2.2 El hidrógeno exacto y sus orbitales

El hidrógeno es el único átomo con solución en fórmula cerrada, y por eso es la piedra de toque: cualquier método numérico que usemos después tiene que reproducirlo. SymPy trae esas fórmulas (`sympy.physics.hydrogen`); nuestro solver radial en SciPy tiene que **encontrarlas por su cuenta**. Ya lo hace (sección 3): −13,604 / −3,401 / −1,512 / −0,850 eV, y con la sorpresa de que los estados con distinto l tienen la misma energía, cosa que **solo pasa con el Coulomb exacto** y desaparece en cuanto hay más electrones (por eso 2s y 2p se separan en el litio, y de ahí sale toda la química).

Los orbitales se pintan como en F4 pintábamos los campos: nubes de puntos muestreadas de \|ψ\|² (con su color de fase, porque ψ tiene signo, y ese signo es lo que hará el enlace o el antienlace en F10). Se ven los **nodos**: el 2s tiene una esfera donde el electrón no está nunca; el 2p tiene un plano. Los números cuánticos dejan de ser etiquetas y pasan a ser **cosas que se cuentan**: n−1 nodos en total, l de ellos angulares.

Control extra que no falla nunca en un átomo bien resuelto: el **teorema del virial**, ⟨T⟩ = −⟨V⟩/2. Si el HUD lo cumple, la solución es buena.

### 2.3 La radiación: la luz que sale de los átomos

Un estado estacionario es una nube **quieta**: no radia, y por eso el átomo es estable. Pero una superposición de 1s y 2p **no** es estacionaria: la densidad de carga se desplaza de un lado a otro con frecuencia ν = (E₂ − E₁)/h. Es un **dipolo eléctrico oscilante**, y el electromagnetismo del instituto dice que un dipolo que oscila emite una onda de esa frecuencia. Así que la luz del hidrógeno sale de un cálculo que ya sabemos hacer: la línea Lyman-α a 121,6 nm, y las de Balmer a 656,3 (roja), 486,1, 434,0 y 410,2 nm, que son las que se ven en el tubo de descarga del laboratorio del instituto. F11c pinta la nube oscilando **a cámara lenta 10¹⁵ veces** y, al lado, el espectro que le corresponde, calculado de nuestros niveles.

Dos cosas más emergen de la misma integral (el momento dipolar entre dos estados): las **reglas de selección** (Δl = ±1: por eso el 2s no baja al 1s emitiendo luz, y vive 0,12 s en vez de nanosegundos) y la **vida media** del estado excitado (el coeficiente A de Einstein: el 2p vive 1,6 ns). Ambas se calculan numéricamente con las ψ de F11b.

La radiación **térmica** (Planck, 1900, donde nació la palabra «cuanto») entra como apéndice: la curva del cuerpo negro y por qué el filamento es rojo antes que blanco.

### 2.4 El espín

Aquí hay que ser honesto igual que lo fuimos con el ciclo de la bomba en F9c: **el espín no sale de la ecuación de Schrödinger**. Sale de la ecuación de Dirac (1928), que es la versión relativista, y que además predice el imán del electrón con g = 2 y la existencia de la antimateria. En F11 el espín se **declara**: el electrón lleva un grado de libertad de dos valores, «arriba» y «abajo» respecto a cualquier eje que elijas, y un momento magnético asociado.

Lo que sí se puede ver, y es lo que asombró a Stern y Gerlach en 1922: si preparas el espín apuntando a +x y mides a lo largo de z, **no** sale «cero» (que es lo que un imán clásico tumbado daría): sale +½ la mitad de las veces y −½ la otra mitad, **nunca nada intermedio**. QuTiP ya lo reprodujo hoy: 1006 arriba, 994 abajo de 2000. Después, una **cadena** de aparatos: filtro z → filtro x → filtro z, y ver que el filtro intermedio **borra** lo que sabías: la medida no es una lectura pasiva.

En un campo magnético el espín **precesa** (Larmor), y con un campo transversal oscilante en la frecuencia justa se le da la vuelta entera (Rabi). Eso es la **resonancia magnética**: el protón precesa a 42,58 MHz por tesla, así que la máquina de 1,5 T del hospital emite a 63,9 MHz y escucha el eco de los protones del agua del cuerpo. El contraste de la imagen es cuánto tardan esos espines en perder la fase (T₁, T₂): QuTiP tiene el solver de sistemas abiertos (`mesolve`) que lo modela. El laboratorio que empezó en el ADN y pasó por el músculo llega a la imagen médica por el camino del espín.

### 2.5 Por qué Pauli

Es la pregunta más profunda de la lista y tiene una respuesta en dos pasos, uno que **se puede ver** y otro que **hay que declarar**.

**Paso 1 (se ve).** Dos electrones son **idénticos** de verdad: no hay forma de pintar uno de rojo. Entonces intercambiarlos no puede cambiar nada observable: \|ψ(1,2)\|² = \|ψ(2,1)\|². Eso deja solo dos opciones para la función: ψ(2,1) = +ψ(1,2) (simétrica) o ψ(2,1) = −ψ(1,2) (antisimétrica). Si es antisimétrica, al poner los dos en el mismo sitio ψ(x,x) = −ψ(x,x), así que **ψ(x,x) = 0**: la probabilidad de encontrarlos juntos es exactamente cero. F11e lo pinta: dos partículas en una caja 1D, la función ψ(x₁,x₂) como un mapa de calor, y en el caso antisimétrico una **diagonal negra**, el «agujero de intercambio». Dos electrones con el mismo espín se evitan sin que haya ninguna fuerza que los empuje.

**Paso 2 (se declara).** ¿Qué decide el signo? El **teorema espín-estadística** (Pauli, 1940): las partículas de espín semientero (electrones, protones, neutrones) son antisimétricas —fermiones—, las de espín entero (fotones) simétricas —bosones—. Demostrarlo exige relatividad y teoría cuántica de campos, y eso no cabe aquí. Se declara, se cita, y se dice claramente que es lo único que se declara.

**Consecuencias, todas visibles.** Con espín, la función total es (espacial) × (espín). Si la parte de espín es antisimétrica (singlete, espines opuestos), la espacial puede ser simétrica y los dos electrones **pueden** compartir orbital: el 1s² del helio. Si los espines son paralelos (triplete), la espacial tiene que ser antisimétrica y **no** pueden compartirlo. Por eso el tercer electrón del litio va al 2s. Por eso hay capas. Por eso hay tabla periódica. Y hay una prueba experimental preciosa: en el helio excitado, los estados triplete (orto-helio) están **0,80 eV por debajo** de los singlete (para-helio) con la misma configuración, porque en el triplete los electrones se evitan y se repelen menos: la **energía de intercambio**, medida en el espectro desde 1890 sin que nadie supiera qué era.

**Y el cierre del círculo.** Desde F2, el laboratorio lleva un «muro de Pauli» pintado a mano: el término r⁻¹² del potencial de Lennard-Jones, que impide que dos átomos se solapen. En F11e se **calcula**: dos átomos de helio acercándose, con Hartree–Fock (pyqint), y la energía sube en pared conforme las nubes intentan solaparse, **porque la antisimetría obliga a la onda a arrugarse** y eso cuesta energía cinética. Se dibuja encima del r⁻¹² de F2. La fase 0 del proyecto declaró ese muro; la fase 11 lo deriva.

### 2.6 Muchos electrones: la tabla periódica emerge

Con dos o más electrones la ecuación **no** tiene solución exacta, porque cada electrón siente a los demás. El método de Hartree (1928) y Fock (1930) es la respuesta razonable: cada electrón se mueve en el campo del núcleo **más la nube promedio de los otros**, y se itera hasta que las nubes y el campo se ponen de acuerdo (campo autoconsistente). Es lo que hace pyqint, y hoy ha dado H₂ a −1,1168 hartree (libro −1,1167) y los átomos He, Be, Ne, Mg, Ar en 0,1 s cada uno.

Lo que emerge al recorrer Z = 1…18: las **capas** (los orbitales se agrupan en energías muy separadas), el **apantallamiento** (el 2s del litio ve un núcleo de carga efectiva ≈ 1,3 y no 3), y sobre todo el **diente de sierra de la energía de ionización**: los gases nobles arriba, los alcalinos abajo. Con la base mínima sale ya el patrón (He 23,8 · Be 6,9 · Ne 14,8 · Mg 1,2 · Ar 13,5 eV frente a 24,6 · 9,3 · 21,6 · 7,7 · 15,8 medidos); con bases mayores, que pyqint también trae, los números se acercan. Y con eso queda explicado lo que empezó todo en F7b: **por qué el sodio suelta un electrón (5,1 eV) y el cloro lo coge**: cuesta poco arrancar el 3s solitario del sodio y el cloro gana estabilidad completando su capa.

Habrá que decir lo que Hartree–Fock **no** hace: ignora la correlación (los electrones se esquivan mejor de lo que dice el promedio: en el helio son 1,1 eV de 79), se equivoca a veces en el orden 4s/3d, y con capa abierta hay que usar la versión sin restricciones (UHF, que pyqint tiene). El HUD lo dirá, como en F5 decía lo que el campo de fuerzas no sabía.

### 2.7 El núcleo

Cambio de escala brutal: si el átomo de hidrógeno fuera un campo de fútbol de 120 m, el protón sería **una lenteja de 2 mm** en el centro. Y ahí dentro, protones que se repelen con un Coulomb enorme y **sin embargo** están pegados: hace falta una fuerza más intensa y de alcance corto, la **fuerza fuerte**, que actúa a menos de ~2 fm (el alcance lo fija la masa del pión: ħ/m_π c = 1,4 fm, Yukawa 1935). Modelarla de verdad es cromodinámica cuántica y no cabe; lo que cabe es lo que hicieron Weizsäcker y Bethe: la **gota líquida**, con energía de volumen, de superficie, de Coulomb y de asimetría. Con cinco parámetros reproduce la energía de enlace de todos los núcleos al 1 %, y hace emerger:

- la **curva de energía de enlace por nucleón**, con su máximo de 8,8 MeV alrededor del hierro y el níquel: a la izquierda se gana energía fusionando (el Sol), a la derecha partiendo (el reactor). E = mc² deja de ser una frase: es la masa que falta, medible en la tabla de masas;
- por qué hacen falta **neutrones** y cada vez más: el Coulomb crece con Z² y la fuerte solo con A;
- el **valle de estabilidad** y hacia dónde decae cada núcleo.

La **desintegración α** es el momento estrella, porque es **efecto túnel**, y el túnel ya lo habremos visto en F11a: la partícula α está atrapada en el pozo nuclear con energía positiva pero **por debajo** de la barrera de Coulomb, y solo puede salir atravesándola. Gamow lo calculó en 1928 y salió la ley de Geiger–Nuttall: la vida media depende **exponencialmente** de la energía. Por eso el Po-212 (8,8 MeV) vive 0,3 µs y el U-238 (4,3 MeV) vive 4.470 millones de años: un factor 2 en energía, **un factor 10²³ en tiempo**. Se calcula con la misma barrera y la misma integral que el túnel de F11a.

La **β** es otra cosa: un neutrón se convierte en protón, electrón y antineutrino por la **fuerza débil**. Se declara (Fermi 1934); se enseña su firma: el neutrón libre vive 880 s, el carbono-14 5.730 años, y de ahí la **datación**. La **γ** es la luz del núcleo: F11c en MeV, con los mismos saltos entre niveles.

Y la **estadística**: cada núcleo tiene la misma probabilidad por segundo de decaer, sin memoria. Un Monte Carlo de mil núcleos hace emerger la **ley exponencial** y la vida media, y muestra por qué un núcleo solo es impredecible y un gramo es un reloj.

Opcional y precioso: el **modelo de capas** nuclear con el solver radial de F11b y un pozo de Woods–Saxon más acoplamiento espín-órbita: salen los **números mágicos** 2, 8, 20, 28, 50. La misma ecuación, otro pozo, otra tabla periódica.

### 2.8 Un protón solo

El H⁺ del instituto, mirado de cerca. Un protón tiene masa 1836 veces la del electrón, carga +e, espín ½, **tamaño** (0,84 fm de radio de carga), un imán de 2,79 magnetones nucleares (el valor «anómalo» que delató que dentro hay estructura: tres quarks, uud) y una vida, hasta donde se sabe, mayor que 10³⁴ años.

**Dónde vive.** En el agua **nunca está solo**: se pega a una molécula y forma H₃O⁺, y salta de una molécula a la siguiente a lo largo de los puentes de hidrógeno (mecanismo de Grotthuss). Esos puentes son los que emergieron en F2. Y ese salto es **exactamente** lo que F2 y F5 no pueden simular, porque un protón que salta es un enlace covalente que se rompe y otro que se forma: la frontera de P24, la que F10 empezó a cruzar. El pH es contar protones. Los gradientes de protones a través de membranas mueven la ATP sintasa: la bomba de F9c tiene un primo que bombea protones, y ese primo fabrica el ATP.

**Cuando un protón encuentra un electrón** nace un átomo de hidrógeno y se liberan 13,6 eV de luz. Y hay un último regalo: el espín del protón y el del electrón se acoplan (dos imanes muy juntos), y la diferencia entre paralelos y antiparalelos son 5,9 µeV, una frecuencia de **1.420 MHz**, una longitud de onda de **21 cm**. Esa energía se calcula con **\|ψ₁ₛ(0)\|² = 1/(π a₀³)**, la densidad del electrón justo encima del protón, que tenemos desde F11b. Con esa línea se cartografía el hidrógeno de la Galaxia. Del ADN a la radioastronomía, con la misma función de onda.

## 3. Las librerías: qué hace cada una y qué se comprobó hoy

Todo se instaló con `pip install --user qutip qmsolve sympy pyqint` en el Python 3.14 por defecto. Ningún control falló.

| Librería | Versión | Para qué la usamos | Control realizado (05/09/2026) | Resultado |
|---|---|---|---|---|
| **SymPy** (`sympy.physics.hydrogen`) | 1.14 | el hidrógeno **exacto**: E_n, R_nl, ψ_nlm en fórmula cerrada; la referencia contra la que se mide todo | E₁…E₄; pico de r²R₁₀²; salto 3→2 | −13,606 / −3,401 / −1,512 / −0,850 eV; pico en **1 bohr**; H-α **656,1 nm** (medido 656,3) |
| **SciPy** (`sparse.linalg.eigsh`) | 1.18.1 | nuestro solver radial y las mallas 1D/2D: aquí es donde la cuantización **emerge** | ecuación radial en 6.000 puntos, l = 0, 1, 2 | −13,604 / −3,401 / −1,512 / −0,850 eV en **0,1 s**; degeneración en l emergente |
| **pyqint** | 1.4.3 | Hartree–Fock de verdad (RHF y UHF) con bases gaussianas: átomos con muchos electrones, He–He, tabla periódica | H₂ a 0,74 Å; He, Be, Ne, Mg, Ar; Koopmans | H₂ **−1,1168** hartree (libro −1,1167); diente de sierra de ionización: 23,8 · 6,9 · 14,8 · 1,2 · 13,5 eV (medido 24,6 · 9,3 · 21,6 · 7,7 · 15,8); 0,1 s por átomo |
| **QuTiP** | 5.3.1 | espín ½: esfera de Bloch, precesión, Rabi, medida, sistemas abiertos (T₁/T₂) | autovalores de σ_z; Stern–Gerlach; Larmor; Rabi | **±1** y nada más; **1006/994** de 2000; ⟨σ_z⟩ = 0 durante la precesión; vuelta completa en t = 1/(2Ω) exacto |
| **qmsolve** | 2.0.0 | Schrödinger en malla 1D/2D/3D con evolución temporal y visualización | oscilador 1D; hidrógeno 3D en malla 70³ | niveles **equiespaciados** (2,763 eV, E₀ = ħω/2); el 3D bruto tarda **27 minutos** y sale desafinado (1s a **−9,82 eV** en vez de −13,6: la malla no resuelve el pico del Coulomb; los tres 2p a −3,27 y el 2s a −2,9): solo para pintar, no para calcular |

API verificada de pyqint (cambió respecto a la documentación antigua): `HF(mol, 'sto3g').rhf(verbose=False)` y `.uhf(...)`; el resultado trae `energy`, `orbe` (energías orbitales), `orbc` (coeficientes), `density`, `forces`, `nuclei`. Bases que trae: sto-3g (verificada) y, según su documentación, sto-6g, 3-21G y 6-31G.

Lo que **no** está disponible en Windows (comprobado el 05/09 para Python 3.14 y 3.12) y **no hace falta** para F11: PySCF, tblite/xTB (sin ruedas), PyQuante2 (sin distribución). TorchANI se instala pero no aporta nada aquí.

## 4. Arquitectura: dos carriles, como siempre

El laboratorio siempre ha tenido un carril de **juego** en el navegador (F2, F7, F10: sin instalar nada, interactivo, aproximado a sabiendas) y un carril de **rigor** en Python (F5, F9: la librería seria, más lento, con números de referencia). F11 mantiene los dos, y el HUD de cada visor enseña los dos números uno al lado del otro: «nuestro cálculo: −13,604 · SymPy exacto: −13,606».

**Carril navegador (JavaScript, sin dependencias).** Todo lo interactivo es viable en el navegador con el mismo esquema de F10:

- 1D: la ecuación de Schrödinger estacionaria por tiro (Numerov) y por autovalores (matriz tridiagonal, algoritmo QL o Jacobi: 500 puntos bastan); la evolución temporal por Crank–Nicolson tridiagonal (estable, unitario, barato);
- el hidrógeno: la ecuación radial por Numerov con búsqueda de nodos, en milisegundos; los orbitales como nubes de puntos muestreadas de R_nl² · \|Y_lm\|², pintadas con el mismo dibujado 3D de F4;
- el espín: matrices 2×2 complejas; la esfera de Bloch es un vector;
- dos partículas en 1D: malla 128×128, autovalores por Lanczos simple o por separación de variables cuando no hay interacción;
- los modelos nucleares: la fórmula semiempírica, la integral de Gamow y el Monte Carlo son aritmética;
- un campo autoconsistente radial sencillo (Hartree con intercambio local) para ver las capas llenarse con una regla de Z, como aproximación viva de lo que pyqint calcula bien.

**Carril Python (rigor).** Cuatro scripts que producen ficheros en `data/` que los visores cargan, más las comprobaciones cruzadas:

| Script | Librería | Produce |
|---|---|---|
| `f11_hidrogeno.py` | SymPy + SciPy | los orbitales exactos evaluados en malla (para pintar sin recalcular) y la tabla de niveles; el dipolo y las vidas medias de F11c |
| `f11_atomos.py` | pyqint | Hartree–Fock de Z = 1…18 (RHF/UHF, dos bases): energías orbitales, ⟨r⟩, densidades radiales; He–He contra distancia; orto/para-helio |
| `f11_espin.py` | QuTiP | las trayectorias de referencia: Larmor, Rabi con y sin desintonía, la cadena de Stern–Gerlach, T₁/T₂ con `mesolve` |
| `f11_nucleo.py` | SciPy + datos AME2020/NUBASE2020 | el ajuste de la gota líquida a las masas medidas, las vidas media α por Gamow, y la tabla de nucleidos incrustada (un subconjunto curado) |

**Unidades**: atómicas dentro (ħ = mₑ = e = 1, energía en hartree, longitud en bohr); en pantalla eV, pm, nm, attosegundos y femtosegundos; en el núcleo MeV, fm y las unidades de tiempo que toquen. Factor de cámara lenta explícito en el HUD, como siempre.

**Convenciones del laboratorio que se mantienen**: un HTML por subfase que no se toca al cerrar; panel de 600 px con teclas y nota didáctica; `window.LAB` con `estado()`/`avanzar()`/`tecla()` para poder probar cada visor por script; captura en `capturas/`, tarjeta en `index.html`, entrada en el cuaderno con los números medidos, enlaces de concepto con sus (1)(2), y commit al cerrar cada subfase.

**Documento compañero**: como `Del_atomo_al_cromosoma.html` acompañó a F0, F11 merece **«El átomo por dentro»**, escrito subfase a subfase con su glosario anclado (electrón, orbital, nodo, espín, fermión, intercambio, apantallamiento, túnel, vida media…), para que el hipervínculo de cada concepto tenga a dónde saltar.

## 5. Las subfases, una a una

### F11a — `onda.html`: la cuantización emerge

**Qué se ve.** Una partícula en un pozo 1D (caja, oscilador, doble pozo, pozo de Coulomb aplanado) y a su lado la misma partícula clásica rebotando, para contrastar. Tres modos: (1) **el tiro**: una regla deslizante de energía, la onda integrada desde la izquierda, y su cola disparándose a ±∞ salvo en los niveles, donde se aplana; (2) **el catálogo**: los niveles y sus funciones, con los nodos contados; (3) **el tiempo**: un paquete de onda que se mueve, se ensancha, choca con una pared y se refleja, y con una barrera **la atraviesa en parte** (túnel) aunque no tenga energía para saltarla.

**Emerge**: la cuantización; los niveles de la caja ∝ n² y los del oscilador equiespaciados; el principio de incertidumbre como hecho visible (el paquete estrecho se ensancha rápido); la probabilidad de túnel decreciendo exponencialmente con el grosor.

**Control**: E_n = n²h²/(8mL²) al 0,1 %; separación del oscilador constante (qmsolve dio 2,763 eV); túnel frente a la fórmula WKB.

**Teclas**: pozo (W), energía (↑↓ con Shift fino), modo (M), lanzar paquete (Espacio), barrera más gruesa/fina (+/−), velocidad (,/.).

### F11b — `hidrogeno.html`: el átomo

**Qué se ve.** El núcleo, y la nube de puntos del orbital elegido girando en 3D (dibujado de F4), con corte por plano opcional y nodos resaltados. Panel con n, l, m como cosas que se cuentan; energía; el radio de Bohr señalado en la distribución radial; la curva «cinética + potencial» con su mínimo en a₀. Un deslizador de **Z** para He⁺ y Li²⁺ (la energía escala con Z², la nube encoge con 1/Z). Y un modo «resolver en vivo»: el tiro de F11a aplicado a la ecuación radial, encontrando los niveles del hidrógeno delante de ti.

**Emerge**: −13,606 eV, a₀, las formas s/p/d/f, los nodos radiales y angulares, la degeneración en l (y en F11f se verá romperse), el virial.

**Control**: niveles frente a SymPy; pico 1s en 52,9 pm; ⟨T⟩ = −⟨V⟩/2; ⟨r⟩₁ₛ = 1,5 a₀.

### F11c — `luz.html`: la radiación de los átomos

**Qué se ve.** Arriba, la nube del hidrógeno en una superposición elegida (1s+2p, 2s+3p…) **oscilando** a cámara lenta ×10¹⁵ con su flecha de dipolo; al lado la onda que emite. Abajo, el **espectro**: las series de Lyman, Balmer y Paschen como rayas en su color real, calculadas de los niveles, con las medidas superpuestas. Las **reglas de selección** como una tabla de integrales que dan cero o no. Las **vidas medias** de cada nivel. Un botón de «absorber»: la raya negra en el espectro del Sol (Fraunhofer) es el mismo salto al revés. Apéndice: la curva de Planck con un deslizador de temperatura.

**Emerge**: 656,3 / 486,1 / 434,0 / 410,2 nm; Lyman-α 121,6 nm; Δl = ±1; el 2p vive 1,6 ns y el 2s 0,12 s; la constante de Rydberg.

**Control**: las cuatro rayas de Balmer al 0,1 %; A(2p→1s) = 6,27·10⁸ s⁻¹.

### F11d — `espin.html`: el espín y la medida

**Qué se ve.** La **esfera de Bloch** con el vector de espín; un imán (campo B ajustable en módulo y dirección) que lo hace precesar; un **aparato de Stern–Gerlach** que se puede orientar y que separa el haz en dos manchas, con contadores; la **cadena** z→x→z; el pulso de **Rabi** que da la vuelta al espín, con la frecuencia de resonancia del electrón (28,0 GHz/T) o del protón (42,58 MHz/T) y el campo del hospital (1,5 T y 3 T). Modo «dos espines»: singlete y triplete, puente a F11e. Modo «decoherencia»: T₁ y T₂, con el eco de espín que la resonancia magnética usa para hacer imagen.

**Declara**: que el espín existe y vale ½ (Dirac). **Emerge**: dos manchas y nunca cero; 50/50 al medir perpendicular; que el filtro intermedio borra la información; la condición de resonancia; la pérdida de fase.

**Control** (QuTiP): 1006/994; precesión con ⟨σ_z⟩ constante; vuelta completa en 1/(2Ω); 63,87 MHz a 1,5 T.

### F11e — `pauli.html`: por qué Pauli

**Qué se ve.** (1) Dos partículas en una caja 1D: el mapa de calor de \|ψ(x₁,x₂)\|² para la función simétrica y la antisimétrica, con la **diagonal negra** de esta última; una regla para encender repulsión entre ellas y ver cómo la antisimétrica **paga menos energía** (la energía de intercambio, medida en el panel). (2) Con espín: singlete y triplete, y por qué dos electrones **pueden** compartir el 1s del helio solo con espines opuestos. (3) **El muro**: dos átomos de helio acercándose, con la energía Hartree–Fock (pyqint, precalculada) dibujada sobre el r⁻¹² que el laboratorio usa desde F2. (4) La prueba experimental: las rayas del orto- y del para-helio, separadas 0,80 eV.

**Declara**: el signo menos para espín ½ (espín-estadística, Pauli 1940), y se dice que es lo único. **Emerge**: la exclusión, el agujero de intercambio, la energía de intercambio, las capas y **el muro de Pauli**, que deja de estar pintado a mano.

**Control**: ψ(x,x) = 0 exactamente; He₂ repulsivo con pendiente comparable al r⁻¹² en el tramo 2–3 Å; orto/para 0,80 eV con pyqint UHF (el triplete por debajo).

### F11f — `tabla.html`: la tabla periódica emerge

**Qué se ve.** Una regla de **Z** de 1 a 18. Para cada Z, los orbitales ocupados con sus energías (pyqint, precalculado con dos bases), la densidad radial con las **capas** como cáscaras visibles, el radio del átomo, y **tres gráficas que se van dibujando** al recorrer Z: energía de ionización (con las medidas), radio atómico, afinidad electrónica. Un modo «en vivo» con nuestro SCF radial simplificado, más tosco pero animado: se ven los orbitales encogerse al crecer Z y separarse el 2s del 2p. Y el cierre con F7b: **Na → Na⁺ + e⁻ cuesta 5,1 eV; Cl + e⁻ → Cl⁻ devuelve 3,6 eV**; en la red del cristal y en el agua, el balance sale a favor, y por eso la sal existe y se disuelve.

**Emerge**: capas, apantallamiento (Z efectivo), el diente de sierra, la periodicidad, el orden de llenado (con sus excepciones honestamente señaladas), la separación 2s/2p que en el hidrógeno no existía.

**Control**: ionizaciones He–Ar frente a las medidas (patrón correcto con sto-3g, mejor con 6-31G); He −2,86 hartree en el límite HF frente a −2,90 exacto (la correlación, 1,1 eV, señalada).

### F11g — `nucleo.html`: el núcleo y la radiactividad

**Qué se ve.** (1) La **escalera de escalas**: del átomo al núcleo al protón, con la lenteja en el campo de fútbol. (2) La **carta de nucleidos** (Z frente a N) coloreada por modo de desintegración, con el valle de estabilidad, sobre un subconjunto curado de AME2020/NUBASE2020 incrustado en el visor. (3) La **gota líquida**: los cinco términos como barras, la curva de enlace por nucleón dibujada sobre las masas medidas, y el máximo en Fe/Ni; con botones «fusionar» y «partir» que muestran la energía liberada y la masa que falta. (4) **La α como túnel**: el pozo nuclear, la barrera de Coulomb, la partícula α dentro, la integral de Gamow, y la vida media que sale frente a la medida para Po-212, Ra-226, U-238 (Geiger–Nuttall en una recta). (5) **Mil núcleos decayendo** en Monte Carlo, la exponencial emergiendo, la vida media, y la datación por carbono-14 con una muestra de edad ajustable. (6) β y γ contadas con su firma: el neutrón libre (880 s), el C-14 (5.730 años), la γ del Co-60 (1,17 y 1,33 MeV).

**Declara**: la fuerza fuerte como pozo fenomenológico y la débil como regla (Fermi). **Emerge**: la curva de enlace, la necesidad de neutrones, el valle, la exponencial, Geiger–Nuttall y sus 23 órdenes de magnitud.

**Control**: 8,79 MeV/nucleón en Ni-62; ajuste de la gota al 1 %; Po-212 0,3 µs y U-238 4,5·10⁹ años dentro de un orden de magnitud (lo normal para Gamow sin correcciones); pendiente de Geiger–Nuttall.

**Opcional**: el modelo de capas nuclear (Woods–Saxon + espín-órbita) con el solver radial de F11b: números mágicos 2, 8, 20, 28, 50.

### F11h — `proton.html`: un protón solo

**Qué se ve.** La ficha del protón (masa, carga, radio, espín, imán, quarks, vida) frente a la del electrón y la del neutrón. Un protón en agua: **nunca solo**, la molécula que lo lleva y el salto de Grotthuss dibujado sobre la red de puentes de F2, con la frontera de P24 señalada. El pH como cuenta. El gradiente de protones que mueve la ATP sintasa, al lado de la bomba de F9c. La **captura**: un electrón cae al protón, nace el hidrógeno y sale un fotón de 13,6 eV. Y **los 21 cm**: \|ψ₁ₛ(0)\|², el acoplamiento de los dos imanes, 5,9 µeV, 1.420 MHz, la Galaxia cartografiada.

**Emerge**: el desdoblamiento hiperfino a partir de la función de onda de F11b y los momentos magnéticos de F11d.

**Control**: 1420,4 MHz (medido 1420,405); 13,606 eV.

## 6. Qué emerge y qué se declara, en una tabla honesta

| Cosa | Estado en F11 | Por qué |
|---|---|---|
| ecuación de Schrödinger, Coulomb, masas y cargas | **declarado** | es el punto de partida, como las cinco leyes de F2 |
| niveles, orbitales, nodos, a₀, espectro, vidas medias, reglas de selección | **emerge** | se calculan y se comparan con la medida |
| espín ½ y g ≈ 2 | **declarado** (Dirac 1928) | exige la ecuación relativista |
| indistinguibilidad → simétrica o antisimétrica | **emerge** (argumento visible) | \|ψ(1,2)\|² = \|ψ(2,1)\|² |
| el signo menos para fermiones | **declarado** (Pauli 1940) | exige teoría cuántica de campos |
| exclusión, capas, intercambio, tabla periódica, muro de Pauli | **emerge** | se calcula con Hartree–Fock |
| correlación electrónica | **señalada como ausente** | HF la ignora: 1,1 eV en el helio |
| fuerza fuerte y débil | **declaradas** (modelos fenomenológicos) | la QCD no cabe; la gota líquida y la regla de Fermi sí |
| enlace nuclear, túnel α, exponencial, datación | **emerge** | de los modelos declarados |

## 7. Riesgos y decisiones

- **Las mallas 3D son lentas e imprecisas** (qmsolve, 70³: 27 minutos, y el 1s sale a −9,82 eV porque la malla no resuelve el pico del Coulomb en el núcleo). Decisión: el hidrógeno se resuelve en la **ecuación radial** (exacta en estructura, 0,1 s, −13,604 eV), y el 3D es solo para **pintar** (nubes de puntos muestreadas de R_nl² · \|Y_lm\|²). qmsolve queda para 1D/2D y para la evolución temporal, donde es rápido y exacto.
- **Hartree–Fock tiene límites** conocidos: sin correlación, orden 4s/3d a veces mal, bases mínimas con errores absolutos grandes. Decisión: dos bases en los datos, el error frente a la medida siempre en pantalla, y el orto/para-helio como ejemplo de lo que HF sí clava (el intercambio) frente a lo que no (la correlación).
- **El espín y el signo de Pauli no se derivan** aquí. Decisión: declararlos con la cita exacta, y que el visor lo diga en su nota. Es la misma honestidad que el ciclo de la bomba en F9c.
- **Los modelos nucleares son fenomenológicos.** Decisión: la gota líquida y Gamow, con sus parámetros a la vista, y la tabla de masas medida encima para que se vea lo que ajustan y lo que no.
- **Datos de nucleidos**: nada de descargas en tiempo de ejecución (F9d ya enseñó a traerlos una vez a `data/`). Un subconjunto curado de AME2020/NUBASE2020 con Z, N, exceso de masa, vida media y modo, incrustado.
- **Rendimiento en el navegador**: dos partículas en 128² son 16.384 incógnitas, asequible por Lanczos en JS; la evolución temporal 1D por Crank–Nicolson es tridiagonal y va a 60 fps.
- **Encoding**: los scripts `.py` sin acentes en lo que imprimen (consola de Windows), como hasta ahora.

## 8. Orden y estimación

| Sesión | Entrega | Dependencias |
|---|---|---|
| 1 | F11a `onda.html` + `f11_hidrogeno.py` (parte de niveles) | ninguna |
| 2 | F11b `hidrogeno.html` (nubes 3D, radial en vivo, virial) | dibujado de F4, F11a |
| 3 | F11c `luz.html` (dipolo, espectro, selección, vidas) | F11b |
| 4 | F11d `espin.html` + `f11_espin.py` (QuTiP) | ninguna |
| 5 | F11e `pauli.html` + `f11_atomos.py` (He₂, orto/para) | F11a, F11d, pyqint |
| 6 | F11f `tabla.html` (Z = 1…18, tres gráficas, SCF vivo) | F11e, pyqint |
| 7 | F11g `nucleo.html` + `f11_nucleo.py` (AME, gota, Gamow, Monte Carlo) | F11a (túnel), F11b (opcional capas) |
| 8 | F11h `proton.html` (ficha, Grotthuss, 21 cm) y el documento «El átomo por dentro» | F11b, F11d |

Cada sesión cierra con captura, tarjeta, entrada del cuaderno con los números medidos, enlaces de concepto y commit. El orden es el de la sección 5, que es el orden en que las preguntas se apoyan unas en otras; F11d (espín) es independiente y puede adelantarse si apetece.

## 9. Referencias

- D. J. Griffiths y D. F. Schroeter, *Introduction to Quantum Mechanics*, 3.ª ed. (2018): el texto de referencia para F11a–F11e, con el hidrógeno, el espín y las partículas idénticas.
- R. P. Feynman, *The Feynman Lectures on Physics*, vol. III (1965): el capítulo de Stern–Gerlach y filtros encadenados (F11d) y el de partículas idénticas (F11e).
- K. S. Krane, *Introductory Nuclear Physics* (1988): la gota líquida, Gamow y el modelo de capas (F11g).
- W. Gerlach y O. Stern, «Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld», *Z. Phys.* 9, 349 (1922).
- W. Pauli, «Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren», *Z. Phys.* 31, 765 (1925); «The connection between spin and statistics», *Phys. Rev.* 58, 716 (1940).
- P. A. M. Dirac, «The quantum theory of the electron», *Proc. R. Soc. A* 117, 610 (1928).
- D. R. Hartree, *Proc. Camb. Phil. Soc.* 24, 89 (1928); V. Fock, *Z. Phys.* 61, 126 (1930).
- G. Gamow, «Zur Quantentheorie des Atomkernes», *Z. Phys.* 51, 204 (1928).
- C. F. von Weizsäcker, «Zur Theorie der Kernmassen», *Z. Phys.* 96, 431 (1935).
- I. I. Rabi et al., «A new method of measuring nuclear magnetic moment», *Phys. Rev.* 53, 318 (1938).
- H. I. Ewen y E. M. Purcell, «Observation of a line in the galactic radio spectrum», *Nature* 168, 356 (1951): los 21 cm.
- E. Clementi y C. Roetti, *At. Data Nucl. Data Tables* 14, 177 (1974): los límites Hartree–Fock atómicos usados como referencia.
- M. Wang et al., «The AME 2020 atomic mass evaluation», *Chin. Phys. C* 45, 030003 (2021); F. G. Kondev et al., «The NUBASE2020 evaluation», ibid. 030001.
- NIST Atomic Spectra Database y CODATA 2018 para las constantes y las rayas medidas.
- QuTiP: J. R. Johansson, P. D. Nation y F. Nori, *Comput. Phys. Commun.* 183, 1760 (2012) y 184, 1234 (2013); qutip.org.
- qmsolve: github.com/quantum-visualizations/qmsolve.
- pyqint: github.com/ifilot/pyqint (I. A. W. Filot).
- SymPy: `sympy.physics.hydrogen`, docs.sympy.org.